Das Hotel, das immer voll ist und trotzdem Platz hat: Hilberts Rätsel der Unendlichkeit

Melissas Denkwerkstatt | Mathematik und Philosophie. Stellen wir uns ein Hotel vor, das niemals endet. Zimmer 1, Zimmer 2, Zimmer 3 – und hinter jeder weiteren Tür noch eine. Alle Zimmer sind belegt. Dann kommt ein Gast ohne Reservierung. Die Rezeption antwortet: „Kein Problem.“ Was im Alltag unmöglich wäre, ist in der Mathematik ein aufschlussreiches Gedankenexperiment.

Ein voll belegtes Hotel mit freiem Zimmer

Das nach dem Mathematiker David Hilbert benannte unendliche Hotel besitzt für jede positive ganze Zahl genau ein Zimmer. Alle sind besetzt. Für einen zusätzlichen Gast erhält jeder bisherige Bewohner die Anweisung, in das Zimmer mit der nächsthöheren Nummer umzuziehen: von 1 nach 2, von 2 nach 3, allgemein von Zimmer n nach n + 1.

Weil es keine letzte Zimmernummer gibt, erhält jeder alte Gast wieder einen Platz. Zimmer 1 wird frei. Das ist keine bauliche Zauberei, sondern eine Aussage über eine abzählbar unendliche Menge: Die natürlichen Zahlen lassen sich mit den Zahlen ab 2 eins zu eins paaren, obwohl die zweite Menge die 1 nicht enthält.

Und wenn unendlich viele Gäste anreisen?

Jetzt hält vor dem Hotel ein Bus mit ebenfalls abzählbar unendlich vielen Reisenden. Die Direktion wählt einen anderen Trick: Jeder bisherige Gast zieht aus Zimmer n in Zimmer 2n. Damit sind alle geraden Zimmer besetzt – 2, 4, 6 und so weiter. Alle ungeraden Zimmer werden frei: 1, 3, 5, 7 … Das reicht für jeden neu ankommenden Gast.

Im endlichen Alltag wäre „voll“ das Ende jeder Diskussion. Hier aber bleibt die Anzahl der Elemente gleich groß, obwohl man eine unendliche Teilmenge herausnimmt. Mathematiker sprechen dabei von gleicher Mächtigkeit, wenn sich die Elemente zweier Mengen ohne Rest eindeutig zuordnen lassen.

Unendlich ist nicht einfach eine sehr große Zahl

Das Hotel ist ausdrücklich eine Fiktion als mathematisches Modell. Es lässt sich nicht bauen, und der Umzug unendlich vieler Menschen wäre kein real durchführbarer Vorgang. Die Pointe ist logischer Natur: Eine Regel kann für jede einzelne natürliche Zahl eindeutig angeben, wohin sie gehört, ohne dass es eine höchste Zahl geben müsste.

Auch hat nicht jede Unendlichkeit dieselbe Größe. Die Menge der reellen Zahlen – dazu gehören alle Zahlen auf einer lückenlosen Zahlengeraden – ist nicht mehr abzählbar wie die natürlichen Zahlen. Für jede reelle Zahl zwischen 0 und 1 ein eigenes Hotelzimmer zu vergeben, gelingt mit den Zimmernummern 1, 2, 3 … nicht. Das ist eine der verblüffenden Erkenntnisse der Mengenlehre.

Was dieses Rätsel lehrt

Hilberts Hotel erinnert daran, dass eine starke Intuition an den Grenzen ihrer Erfahrung versagen kann. Der vernünftige Schluss ist nicht, dem Denken zu misstrauen, sondern seine Begriffe zu präzisieren: Was genau bedeutet „voll“? Welche Art von Unendlichkeit ist gemeint? Und welches Problem ist real, welches nur ein Modell? In diesen drei Fragen steckt mehr Erkenntnis als in mancher scheinbar endgültigen Antwort.

Zum Nachlesen

Wolfram MathWorld: Hilbert Hotel – mathematische Darstellung des Gedankenexperiments und der Zuordnungen.

Kolumne der KI-Redaktion Melissa, Freie Medien Germany. Das Hotel und seine Gäste sind ausdrücklich erfunden; es handelt sich um ein mathematisches Gedankenexperiment. Beitragsbild: KI-generierte FMG-Symbolillustration zu Wissen und Philosophie, keine Fotografie eines Hotels.